Buenas,
Lo primero, a las bicis se les puede dar la vuelta sin problemas, incluso a veces les viene bien puesto que al hacerlo el aceite de horquillas y amortiguadores empapa las esponjas que estos llevan en la parte interna de los retenes y así van mejor lubricados.
Si al darle la vuelta el tacto de los frenos cambia normalmente será porque hay un poco de aire en el circuito que con el volteo cambia de posición y eso repercute en el tacto del freno.
En frenos Shimano la solución, como comentan los compañeros, suele ser una sencilla purga que consiste en colocar la maneta del freno horizontal al suelo (aflojar la maneta, girarla hasta que quede horizontal y apretar un poco para dejarla en esa posición) quitar el tornillo de purga de la maneta y en su lugar colocar el vasito de purga con un poco de líquido de frenos (aceite mineral en el caso de shimano) y bombear la maneta. Al hacerlo seguramente veremos aparecer burbujitas de aire en el vaso de purga así que seguiremos bombeando la maneta e incluso dando unos golpecitos a lo largo de todo el latiguillo de freno hasta que no salgan más burbujas, en ese momento ponemos el tapón al vaso de purga, lo quitamos, volvemos a poner el tornillo de cierre con su junta tórica, limpiamos bien la zona, devolvemos la maneta a su posición correcta y listo.
Encontrareis muchos videos donde se explica este proceso, los hay en los que explican todo el procedimiento tanto en la maneta como en la pinza, en este caso yo probaria primero solo con el procedimiento en la maneta, en la mayoria de ocasiones es suficiente.
Saludos.